Este 12 de agosto, buena parte de España mirará al cielo para presenciar el primer eclipse total de Sol visible desde la Península en más de un siglo. Aparte de su vistosidad, los eclipses han sido herramientas prácticas para la navegación y la geografía. Un eclipse ofrece una señal de tiempo compartida, visible (con matices) desde puntos muy distantes de la Tierra al mismo instante absoluto. Sin embargo, la poca frecuencia de los eclipses de Sol, y también los de la Luna, limitaban su uso práctico. Por ello, cuando, en 1610, Galileo Galilei avistó por primera vez cuatro de las lunas de Júpiter (Europa, Ganímedes, Io y Calisto), se dio cuenta de que tenían gran utilidad: daban muchos más eclipses que el Sol y la Luna terrestre y, por tanto, más oportunidades de medir longitud.Si una de estas lunas entra en la sombra que proyecta el propio planeta, se apaga de golpe durante un rato, igual que le ocurre a nuestra Luna cuando es la Tierra la que le hace sombra. Ese instante de ‘apagón’ se observa a distintas horas del día en diferentes ciudades, y esa diferencia de hora local permite medir la diferencia de longitud entre los observatorios. Si se fija un sitio preciso, las horas en las que sucederán los eclipses futuros se pueden predecir, con precisión y muchos años de adelanto. Así que se puede estar al tanto para hacer la medición muy bien. Io, la luna más rápida de las cuatro, experimenta un eclipse casi en cada una de sus vueltas a Júpiter (cada 1,77 días), frente al par de eclipses de luna terrestre que ofrece un año entero, lo que convertía a las lunas jovianas en un reloj celeste muchísimo más frecuente y práctico. La idea fue candidata a un premio de Felipe II para la navegación y la geografía, aunque el método no resultó practico para los barcos, afectados por sacudidas frecuentes que impedían la medición precisa requerida.Mundos con montañas, volcanes, géiseres y mares congeladosSin embargo, estas mismas lunas han seguido intrigando a la humanidad hasta nuestros días. Con las misiones Pioneer y Voyager su interés se disparó. La observación cercana descubrió que, en contraste con nuestra estática Luna, las lunas de Júpiter albergan montañas, volcanes activos, géiseres y mares congelados. Más aun, se descubrieron moléculas orgánicas en la atmósfera de Europa, que pasó a ser considerada la más plausible candidata de albergar vida en el sistema solar.Debido a todo esto, actualmente hay dos naves de camino hacia el sistema joviano: JUICE , de la Agencia Espacial Europea (ESA), con colaboración de la NASA y lanzada en 2023, y Europa Clipper , de la NASA, lanzada en 2025. Ambas misiones tardarán aproximadamente seis años en llegar a su destino y, una vez allí, disponen de una cantidad limitada de combustible para realizar maniobras de corrección de trayectoria, dado el altísimo coste de enviar carga a Júpiter. Y eso es un gran inconveniente para una misión de exploración, en la que no sabe lo que va a encontrar: sería bueno poder cambiar el rumbo para pasar más tiempo donde se encuentren cosas más interesantes.Frente a este reto, aparece el problema matemático sumamente interesante de desarrollar estrategias de navegación que permitan realizar maniobras utilizando una cantidad mínima de combustible. Esto parece posible, gracias a la llamada teoría del caos. La teoría del caos estudia sistemas en los que una variación minúscula en las condiciones iniciales de un sistema puede amplificarse rápidamente (el famoso aleteo de una mariposa que puede provocar un temporal en la otra punta del planeta). La idea es emplear esa amplificación para que empuje en la dirección en la que se quiere dirigir la nave. Así, aplicando un sutil impulso (que consume muy poco combustible), se podría avanzar mucho hacia la meta final.Desgraciadamente, estas amplificaciones dadas por el caos aparecen en muchas direcciones, la mayoría contrarias a los objetivos de navegación (La ley de Murphy no perdona). Para aprovechar las amplificaciones que empujan la misión es imperativo disponer de un mapa extremadamente detallado de las zonas del espacio donde ocurren los crecimientos de inestabilidades y saber si se pueden encadenar los saltos favorables.Dinámica hamiltonianaLa localización de estas trayectorias gratuitas no se consigue con cálculos masivos (que serían inabarcables), sino que requiere astucias basadas en matemáticas sofisticadas, procedentes de la llamada dinámica hamiltoniana. En esta teoría existen ciertas estructuras conocidas bajo el peculiar nombre de toros con bigotes o toros parcialmente hiperbólicos. Estos objetos poseen la propiedad de que una trayectoria que empieza en uno de ellos, se queda en él. Más aún, se pueden calcular direcciones en las que las perturbaciones se amplifican cerca de ellos. Se pueden caracterizar también las órbitas que llegan a ellos. Sorprendentemente, las trayectorias que llegan y las que se van son una estructura suave, no los fractales que aparecen en teoría del caos, parecidos a una bandera pegada a un mástil.Los toros con bigotes son objetos tan enrevesados que solo existen en cuatro o más dimensiones. En la imagen, un dibujo de objeto similar en tres dimensiones, extraído de «A parameterization method for the computation of invariant tori and their whiskers in quasi-periodic maps: numerical implementation and examples», cortesía del autor.Se pueden encontrar trayectorias que salen de uno de estos toros con bigotes y acaban en otro, usando técnicas (desarrolladas inicialmente para videojuegos), que buscan intersecciones de las superficies. Después de reposar un tiempo en este toro de llegada, se puede dar el siguiente salto escogiendo el momento preciso, en el que el salto ayude.Este mecanismo fue propuesto por el matemático Vladímir Arnold en 1963. Pero los algoritmos numéricos prácticos para calcular dichos objetos y localizar las orbitas que van de uno a otros cercanos son más recientes. Se han requerido desarrollos teóricos y, luego, algorítmicos. La clave es desarrollar un algoritmo que, dado un toro aproximado calcule eficientemente otro, aun mejor aproximado. Estudiando el algoritmo y comprobando que converge, se obtiene también una prueba de que estos objetos existen. Es decir, analizando el algoritmo se pueden probar teoremas.Para encontrar los saltos, se comienza estudiando un modelo simplificado (por ejemplo, suponiendo que la masa de la segunda luna es cero), lo cual permite resolver las ecuaciones de forma explícita. Después, se incrementa la masa progresivamente. La solución exacta para un valor de la masa se toma como una aproximación para un valor de la masa un poco más grande. Esta aproximación se refina hasta hacerla casi exacta y el proceso recomienza. Así se llega al valor real de la masa.Estas ideas se desarrollan e implementan en una serie de artículos recientes . Como resultado, hemos logrado hallar, en modelos bastante realistas de las lunas, itinerarios que comienzan en las proximidades de Europa y se mueven hacia Ganímedes sin gastar combustible, aprovechando las mareas. Aún queda incorporar otros pequeños efectos que también son relevantes para la enorme precisión requerida en misiones reales. También hay que estimar bien el tiempo necesario y si se puede ir más rápido usando un poco más de combustible. Aún tenemos años para afinar estos resultados, que pueden ser clave, si hay que replantear la misión tras encontrar hombrecillos verdes (ojalá) en alguna luna.Rafael de la Llave Profesor emérito del Georgia Institute of Technology (EE UU)Entre teoremas es una sección de matemáticas para todos los públicos impulsada por el Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT-CSIC) Este 12 de agosto, buena parte de España mirará al cielo para presenciar el primer eclipse total de Sol visible desde la Península en más de un siglo. Aparte de su vistosidad, los eclipses han sido herramientas prácticas para la navegación y la geografía. Un eclipse ofrece una señal de tiempo compartida, visible (con matices) desde puntos muy distantes de la Tierra al mismo instante absoluto. Sin embargo, la poca frecuencia de los eclipses de Sol, y también los de la Luna, limitaban su uso práctico. Por ello, cuando, en 1610, Galileo Galilei avistó por primera vez cuatro de las lunas de Júpiter (Europa, Ganímedes, Io y Calisto), se dio cuenta de que tenían gran utilidad: daban muchos más eclipses que el Sol y la Luna terrestre y, por tanto, más oportunidades de medir longitud.Si una de estas lunas entra en la sombra que proyecta el propio planeta, se apaga de golpe durante un rato, igual que le ocurre a nuestra Luna cuando es la Tierra la que le hace sombra. Ese instante de ‘apagón’ se observa a distintas horas del día en diferentes ciudades, y esa diferencia de hora local permite medir la diferencia de longitud entre los observatorios. Si se fija un sitio preciso, las horas en las que sucederán los eclipses futuros se pueden predecir, con precisión y muchos años de adelanto. Así que se puede estar al tanto para hacer la medición muy bien. Io, la luna más rápida de las cuatro, experimenta un eclipse casi en cada una de sus vueltas a Júpiter (cada 1,77 días), frente al par de eclipses de luna terrestre que ofrece un año entero, lo que convertía a las lunas jovianas en un reloj celeste muchísimo más frecuente y práctico. La idea fue candidata a un premio de Felipe II para la navegación y la geografía, aunque el método no resultó practico para los barcos, afectados por sacudidas frecuentes que impedían la medición precisa requerida.Mundos con montañas, volcanes, géiseres y mares congeladosSin embargo, estas mismas lunas han seguido intrigando a la humanidad hasta nuestros días. Con las misiones Pioneer y Voyager su interés se disparó. La observación cercana descubrió que, en contraste con nuestra estática Luna, las lunas de Júpiter albergan montañas, volcanes activos, géiseres y mares congelados. Más aun, se descubrieron moléculas orgánicas en la atmósfera de Europa, que pasó a ser considerada la más plausible candidata de albergar vida en el sistema solar.Debido a todo esto, actualmente hay dos naves de camino hacia el sistema joviano: JUICE , de la Agencia Espacial Europea (ESA), con colaboración de la NASA y lanzada en 2023, y Europa Clipper , de la NASA, lanzada en 2025. Ambas misiones tardarán aproximadamente seis años en llegar a su destino y, una vez allí, disponen de una cantidad limitada de combustible para realizar maniobras de corrección de trayectoria, dado el altísimo coste de enviar carga a Júpiter. Y eso es un gran inconveniente para una misión de exploración, en la que no sabe lo que va a encontrar: sería bueno poder cambiar el rumbo para pasar más tiempo donde se encuentren cosas más interesantes.Frente a este reto, aparece el problema matemático sumamente interesante de desarrollar estrategias de navegación que permitan realizar maniobras utilizando una cantidad mínima de combustible. Esto parece posible, gracias a la llamada teoría del caos. La teoría del caos estudia sistemas en los que una variación minúscula en las condiciones iniciales de un sistema puede amplificarse rápidamente (el famoso aleteo de una mariposa que puede provocar un temporal en la otra punta del planeta). La idea es emplear esa amplificación para que empuje en la dirección en la que se quiere dirigir la nave. Así, aplicando un sutil impulso (que consume muy poco combustible), se podría avanzar mucho hacia la meta final.Desgraciadamente, estas amplificaciones dadas por el caos aparecen en muchas direcciones, la mayoría contrarias a los objetivos de navegación (La ley de Murphy no perdona). Para aprovechar las amplificaciones que empujan la misión es imperativo disponer de un mapa extremadamente detallado de las zonas del espacio donde ocurren los crecimientos de inestabilidades y saber si se pueden encadenar los saltos favorables.Dinámica hamiltonianaLa localización de estas trayectorias gratuitas no se consigue con cálculos masivos (que serían inabarcables), sino que requiere astucias basadas en matemáticas sofisticadas, procedentes de la llamada dinámica hamiltoniana. En esta teoría existen ciertas estructuras conocidas bajo el peculiar nombre de toros con bigotes o toros parcialmente hiperbólicos. Estos objetos poseen la propiedad de que una trayectoria que empieza en uno de ellos, se queda en él. Más aún, se pueden calcular direcciones en las que las perturbaciones se amplifican cerca de ellos. Se pueden caracterizar también las órbitas que llegan a ellos. Sorprendentemente, las trayectorias que llegan y las que se van son una estructura suave, no los fractales que aparecen en teoría del caos, parecidos a una bandera pegada a un mástil.Los toros con bigotes son objetos tan enrevesados que solo existen en cuatro o más dimensiones. En la imagen, un dibujo de objeto similar en tres dimensiones, extraído de «A parameterization method for the computation of invariant tori and their whiskers in quasi-periodic maps: numerical implementation and examples», cortesía del autor.Se pueden encontrar trayectorias que salen de uno de estos toros con bigotes y acaban en otro, usando técnicas (desarrolladas inicialmente para videojuegos), que buscan intersecciones de las superficies. Después de reposar un tiempo en este toro de llegada, se puede dar el siguiente salto escogiendo el momento preciso, en el que el salto ayude.Este mecanismo fue propuesto por el matemático Vladímir Arnold en 1963. Pero los algoritmos numéricos prácticos para calcular dichos objetos y localizar las orbitas que van de uno a otros cercanos son más recientes. Se han requerido desarrollos teóricos y, luego, algorítmicos. La clave es desarrollar un algoritmo que, dado un toro aproximado calcule eficientemente otro, aun mejor aproximado. Estudiando el algoritmo y comprobando que converge, se obtiene también una prueba de que estos objetos existen. Es decir, analizando el algoritmo se pueden probar teoremas.Para encontrar los saltos, se comienza estudiando un modelo simplificado (por ejemplo, suponiendo que la masa de la segunda luna es cero), lo cual permite resolver las ecuaciones de forma explícita. Después, se incrementa la masa progresivamente. La solución exacta para un valor de la masa se toma como una aproximación para un valor de la masa un poco más grande. Esta aproximación se refina hasta hacerla casi exacta y el proceso recomienza. Así se llega al valor real de la masa.Estas ideas se desarrollan e implementan en una serie de artículos recientes . Como resultado, hemos logrado hallar, en modelos bastante realistas de las lunas, itinerarios que comienzan en las proximidades de Europa y se mueven hacia Ganímedes sin gastar combustible, aprovechando las mareas. Aún queda incorporar otros pequeños efectos que también son relevantes para la enorme precisión requerida en misiones reales. También hay que estimar bien el tiempo necesario y si se puede ir más rápido usando un poco más de combustible. Aún tenemos años para afinar estos resultados, que pueden ser clave, si hay que replantear la misión tras encontrar hombrecillos verdes (ojalá) en alguna luna.Rafael de la Llave Profesor emérito del Georgia Institute of Technology (EE UU)Entre teoremas es una sección de matemáticas para todos los públicos impulsada por el Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT-CSIC)
Este 12 de agosto, buena parte de España mirará al cielo para presenciar el primer eclipse total de Sol visible desde la Península en más de un siglo. Aparte de su vistosidad, los eclipses han sido herramientas prácticas para la navegación y la geografía. … Un eclipse ofrece una señal de tiempo compartida, visible (con matices) desde puntos muy distantes de la Tierra al mismo instante absoluto. Sin embargo, la poca frecuencia de los eclipses de Sol, y también los de la Luna, limitaban su uso práctico. Por ello, cuando, en 1610, Galileo Galilei avistó por primera vez cuatro de las lunas de Júpiter (Europa, Ganímedes, Io y Calisto), se dio cuenta de que tenían gran utilidad: daban muchos más eclipses que el Sol y la Luna terrestre y, por tanto, más oportunidades de medir longitud.
Si una de estas lunas entra en la sombra que proyecta el propio planeta, se apaga de golpe durante un rato, igual que le ocurre a nuestra Luna cuando es la Tierra la que le hace sombra. Ese instante de ‘apagón’ se observa a distintas horas del día en diferentes ciudades, y esa diferencia de hora local permite medir la diferencia de longitud entre los observatorios. Si se fija un sitio preciso, las horas en las que sucederán los eclipses futuros se pueden predecir, con precisión y muchos años de adelanto.
Así que se puede estar al tanto para hacer la medición muy bien. Io, la luna más rápida de las cuatro, experimenta un eclipse casi en cada una de sus vueltas a Júpiter (cada 1,77 días), frente al par de eclipses de luna terrestre que ofrece un año entero, lo que convertía a las lunas jovianas en un reloj celeste muchísimo más frecuente y práctico. La idea fue candidata a un premio de Felipe II para la navegación y la geografía, aunque el método no resultó practico para los barcos, afectados por sacudidas frecuentes que impedían la medición precisa requerida.
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Mundos con montañas, volcanes, géiseres y mares congelados
Sin embargo, estas mismas lunas han seguido intrigando a la humanidad hasta nuestros días. Con las misiones Pioneer y Voyager su interés se disparó. La observación cercana descubrió que, en contraste con nuestra estática Luna, las lunas de Júpiter albergan montañas, volcanes activos, géiseres y mares congelados. Más aun, se descubrieron moléculas orgánicas en la atmósfera de Europa, que pasó a ser considerada la más plausible candidata de albergar vida en el sistema solar.
Debido a todo esto, actualmente hay dos naves de camino hacia el sistema joviano: JUICE, de la Agencia Espacial Europea (ESA), con colaboración de la NASA y lanzada en 2023, y Europa Clipper, de la NASA, lanzada en 2025. Ambas misiones tardarán aproximadamente seis años en llegar a su destino y, una vez allí, disponen de una cantidad limitada de combustible para realizar maniobras de corrección de trayectoria, dado el altísimo coste de enviar carga a Júpiter. Y eso es un gran inconveniente para una misión de exploración, en la que no sabe lo que va a encontrar: sería bueno poder cambiar el rumbo para pasar más tiempo donde se encuentren cosas más interesantes.
Frente a este reto, aparece el problema matemático sumamente interesante de desarrollar estrategias de navegación que permitan realizar maniobras utilizando una cantidad mínima de combustible. Esto parece posible, gracias a la llamada teoría del caos. La teoría del caos estudia sistemas en los que una variación minúscula en las condiciones iniciales de un sistema puede amplificarse rápidamente (el famoso aleteo de una mariposa que puede provocar un temporal en la otra punta del planeta). La idea es emplear esa amplificación para que empuje en la dirección en la que se quiere dirigir la nave. Así, aplicando un sutil impulso (que consume muy poco combustible), se podría avanzar mucho hacia la meta final.
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Desgraciadamente, estas amplificaciones dadas por el caos aparecen en muchas direcciones, la mayoría contrarias a los objetivos de navegación (La ley de Murphy no perdona). Para aprovechar las amplificaciones que empujan la misión es imperativo disponer de un mapa extremadamente detallado de las zonas del espacio donde ocurren los crecimientos de inestabilidades y saber si se pueden encadenar los saltos favorables.
Dinámica hamiltoniana
La localización de estas trayectorias gratuitas no se consigue con cálculos masivos (que serían inabarcables), sino que requiere astucias basadas en matemáticas sofisticadas, procedentes de la llamada dinámica hamiltoniana. En esta teoría existen ciertas estructuras conocidas bajo el peculiar nombre de toros con bigotes o toros parcialmente hiperbólicos. Estos objetos poseen la propiedad de que una trayectoria que empieza en uno de ellos, se queda en él. Más aún, se pueden calcular direcciones en las que las perturbaciones se amplifican cerca de ellos. Se pueden caracterizar también las órbitas que llegan a ellos. Sorprendentemente, las trayectorias que llegan y las que se van son una estructura suave, no los fractales que aparecen en teoría del caos, parecidos a una bandera pegada a un mástil.
Se pueden encontrar trayectorias que salen de uno de estos toros con bigotes y acaban en otro, usando técnicas (desarrolladas inicialmente para videojuegos), que buscan intersecciones de las superficies.
Después de reposar un tiempo en este toro de llegada, se puede dar el siguiente salto escogiendo el momento preciso, en el que el salto ayude.
Este mecanismo fue propuesto por el matemático Vladímir Arnold en 1963. Pero los algoritmos numéricos prácticos para calcular dichos objetos y localizar las orbitas que van de uno a otros cercanos son más recientes. Se han requerido desarrollos teóricos y, luego, algorítmicos. La clave es desarrollar un algoritmo que, dado un toro aproximado calcule eficientemente otro, aun mejor aproximado. Estudiando el algoritmo y comprobando que converge, se obtiene también una prueba de que estos objetos existen. Es decir, analizando el algoritmo se pueden probar teoremas.
Para encontrar los saltos, se comienza estudiando un modelo simplificado (por ejemplo, suponiendo que la masa de la segunda luna es cero), lo cual permite resolver las ecuaciones de forma explícita. Después, se incrementa la masa progresivamente. La solución exacta para un valor de la masa se toma como una aproximación para un valor de la masa un poco más grande. Esta aproximación se refina hasta hacerla casi exacta y el proceso recomienza. Así se llega al valor real de la masa.
Estas ideas se desarrollan e implementan en una serie de artículos recientes. Como resultado, hemos logrado hallar, en modelos bastante realistas de las lunas, itinerarios que comienzan en las proximidades de Europa y se mueven hacia Ganímedes sin gastar combustible, aprovechando las mareas. Aún queda incorporar otros pequeños efectos que también son relevantes para la enorme precisión requerida en misiones reales. También hay que estimar bien el tiempo necesario y si se puede ir más rápido usando un poco más de combustible. Aún tenemos años para afinar estos resultados, que pueden ser clave, si hay que replantear la misión tras encontrar hombrecillos verdes (ojalá) en alguna luna.
Rafael de la Llave
Profesor emérito del Georgia Institute of Technology (EE UU)
Entre teoremas es una sección de matemáticas para todos los públicos impulsada por el Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM)
Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT-CSIC)
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